ベクトル

ドイツ語 Vektor からの借用語

ベクトル空間の要素。上記の意味のベクトルを一般化したもの。


列

行列において縦方向の成分の並び。

行列の場合には、行列 A の列の個数が行列 B の行の個数に等しい場合に限り、積 AB を考えることができた。したがって、AB が計算できても、BA が計算できるとは限らない。

2020年、文部科学省「行列入門」 文部科学省『行列入門』p. 25（文部科学省ホームページ）政府標準利用規約（第2.0版）公開 https://www.mext.go.jp/content/20210525-mxt_kyoiku01-000009442_1_1.pdf 2021年9月5日参照。


核

core

ものごとの中心となるもの

jádro

ものごとの中心となるもの

центр

ものごとの中心となるもの

（語義10、11）与えられた線型写像や準同型写像 f に対する核を、記号では Ker(f) や Ker f などと表す。

ベクトル空間 V と W、線型写像 f: V → W、ゼロベクトル 0 について、{v ∈ V | f(v) = 0} で定義される V の部分空間。身近な例としては、右辺を全て零とする連立一次方程式 Ax = 0 を満たす全ての解。


成分

[se̞ːbɯ̟̃ᵝɴ]

ベクトルや行列を構成する数や記号。要素。


相似

n次行列A, Bに対して、B=P⁻¹APを満たす正則n次行列Pが存在すること。


matrix

matrices (plural)
matrixen (plural)
matrixje
matrixjes (plural)


rank

中英語rank「列」 < 古フランス語reng, rang, ranc「列」 ( > フランス語rang) < 古フランク語*hring「輪」 < ゲルマン祖語*hringaz「曲げたもの」

rakkr

まっすぐの、やせた、勇気がある


norm

フランス語norme (1821年 "Coleridge"より) < 古フランス語 < ラテン語norma (規、大工の定規)


一次独立

ベクトルの一次結合において、全てのスカラーが零であるときのみ、その一次結合がゼロベクトルとなること。a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₖvₖ = 0 であれば、a₁ = a₂ = ... = aₖ = 0 であること。


線形従属

線形従属
だろ (imperfective)
だっ (continuative)
で (continuative)
に (continuative)
だ (terminal)
な (attributive)
なら (hypothetical)
(無し) (imperative)
線形従属だろう
未然形 + う
線形従属だった (past completive)
連用形 + た (past completive)
線形従属でない (negative)
連用形 + ない (negative)
線形従属になる (intransitive)
連用形 + なる (intransitive)
線形従属だ (definitive)
終止形のみ (definitive)
線形従属なこと (noun-from-verb)
連体形 + こと (noun-from-verb)
線形従属ならば
仮定形 + ば
線形従属そうだ
語幹 + そうだ


線形独立

線形独立
だろ (imperfective)
だっ (continuative)
で (continuative)
に (continuative)
だ (terminal)
な (attributive)
なら (hypothetical)
(無し) (imperative)
線形独立だろう
未然形 + う
線形独立だった (past completive)
連用形 + た (past completive)
線形独立でない (negative)
連用形 + ない (negative)
線形独立になる (intransitive)
連用形 + なる (intransitive)
線形独立だ (definitive)
終止形のみ (definitive)
線形独立なこと (noun-from-verb)
連体形 + こと (noun-from-verb)
線形独立ならば
仮定形 + ば
線形独立そうだ
語幹 + そうだ


線型従属

線型従属
だろ (imperfective)
だっ (continuative)
で (continuative)
に (continuative)
だ (terminal)
な (attributive)
なら (hypothetical)
(無し) (imperative)
線型従属だろう
未然形 + う
線型従属だった (past completive)
連用形 + た (past completive)
線型従属でない (negative)
連用形 + ない (negative)
線型従属になる (intransitive)
連用形 + なる (intransitive)
線型従属だ (definitive)
終止形のみ (definitive)
線型従属なこと (noun-from-verb)
連体形 + こと (noun-from-verb)
線型従属ならば
仮定形 + ば
線型従属そうだ
語幹 + そうだ


Eigenwert

Eigenwertes (genitive)
Eigenwerts
Eigenwerte (plural)

ˈaɪ̯ɡn̩ˌveːɐ̯t


線形代数

線形空間や行列・行列式に関する理論を研究する代数学の一分野。


双対空間

元になるベクトル空間の記号を V とすると、アスタリスクを付けて V* で V の双対空間を表すことが多い。

ある体 K 上のあるベクトル空間 V を K へ写す線型写像 f: V → K の全ての集まりから成る集合を考え、その線型写像の集合に和と K によるスカラー倍を改めて導入したもの。双対ベクトル空間。


双対ベクトル空間

そうついべくとるくうかん


一次形式

双対空間の各要素。線型形式。


ノルム

ベクトルの長さを一般化したもの。スカラー K で定義されるベクトル空間 V において、各ベクトル x ∈ V に対して正または零の実数の値を対応させる、次の3つの条件を備えた函数‖x‖ のこと。(1) ‖x‖ = 0 となるのは x = 0 のときに限る。(2) 任意の a ∈ K と x ∈ V に対して ‖ax‖ = |a|‖x‖ を満たす。ただし |･| はスカラーの絶対値。(3) 任意の2つのベクトル x ∈ V と y ∈ V に対して ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ を満たす。


ノルム空間

各要素にノルムが定義されたベクトル空間。


正則

正方行列Aの逆行列が存在すること。Aが正則行列であること。


skaláris szorzat

内積、スカラー積、ドット積。


線形性

ある操作fを行うとき、和・差・定数倍をとる操作はfとの順番に関わらず結果が一致する、という性質。極限・微分・積分・総和・期待値・内積・転置などで成り立つ。


冪零行列

べきぜろぎょうれつ
べきれいぎょうれつ

冪乗したら零行列になる行列のこと。


有向線分

線分のうち、向きを持つもの。幾何ベクトルを用いて表される。長さと向きで決まり、線分の位置は議論に関係ない。よって、平行移動は自由に行える。物理学においては、力を表す有向線分は力の作用線上のみ平行移動できる。


トレース

英語 trace からの借用語

正方行列の対角成分の和。一般に、固有値の総和と一致する。跡。


余因子行列

正方行列Aに対し、(i, j)成分がAの(i, j)余因子Δᵢⱼである行列の転置行列のこと。記号ではÃと表す。Aが正則行列ならば、ÃにAの行列式detAを掛けた行列はAの逆行列A⁻¹に一致する。


二次形式

全ての項の次数が2である多項式。一般に、対称行列Aと列ベクトル mathbf xを用いて{}ᵗ! mathbf x×A× mathbf xと表せる。また、跡を用いるとtr(A× mathbf x×{}ᵗ! mathbf x)とも表せる。複素数の二次形式を考えるときはエルミート行列が登場する。


射影行列

P²=Pを満たす正方行列P。冪等行列。


冪等行列

P²=Pを満たす正方行列P。射影行列。


直交射影行列

ちょっこうしゃえいぎょうれつ

この行列の表す一次変換によって点A(⃑a)が点B(⃑b)に移るとき、⃑AB⊥⃑bが成り立つことから。

射影行列のうち、対称行列であるもの。


対称行列

転置が元の行列に一致する正方行列。


交代行列

転置が元の行列のマイナス1倍になる正方行列。


正規方程式

連立方程式A mathbf x= mathbf bに左から係数行列の転置行列を掛けたもの。最小二乗法において、|A mathbf x- mathbf b|を最小にする mathbf xはこの方程式の解である。


係数行列

連立方程式A mathbf x= mathbf bにおいてベクトル mathbf xの係数となる行列。連立方程式を一次変換と見たときの表現行列に等しい。


拡大係数行列

かくだいけいすうぎょうれつ

連立方程式A mathbf x= mathbf bにおいて、係数行列Aとベクトル mathbf bを横に並べた行列。


掃出し法

はきだしほう
掃き出し法 (alternative)
掃出法 (alternative)

ある正方行列と同じ次数の単位行列を並べた行列に基本変形を施して逆行列を求める計算法]]。(ガウスの)消去法。

連立方程式の拡大係数行列に基本変形を施して簡約行列に変換すること。簡約化。


簡約化

連立方程式の拡大係数行列に基本変形を施して簡約行列に変換すること。掃出し法。


基本変形

行列のある行・列に対して行う、定数倍、位置の交換、別の行・列の定数倍の加算の3つの操作。


行基本変形

行列の行に対して行う基本変形。基本行列を右から掛けることと同値である。


列基本変形

行列の列に対して行う基本変形。基本行列を左から掛けることと同値である。


基本行列

左から掛けると列基本変形、右から掛けると行基本変形となる。

n次単位行列I_nの(i, j)成分をcに置き換えた行列P_n(i;c)（ただしc≠0）、I_nの(i, i)成分と(j, j)成分を0に置き換え、(i, j)成分と(j, i)成分を1に置き換えた行列P_n(i,j)（ただしi≠j）、I_nの(i, j)成分をcに置き換えた行列P_n(i,j;c)（ただしi≠j）の総称。


簡約行列

「全ての主成分が1」「主成分を持つ列ベクトルが基本ベクトルである」「右側の列ほど主成分が下側にある」「全ての成分が0である行が0以外の値を成分に持つ行よりも下側にある」の4つを満たす行列。RREF行列。


RREF行列

あーるあーるいーえふぎょうれつ

「全ての主成分が1」「主成分を持つ列ベクトルが基本ベクトルである」「右側の列ほど主成分が下側にある」「全ての成分が0である行が0以外の値を成分に持つ行よりも下側にある」の4つを満たす行列。簡約行列。


基本ベクトル

一つの成分が1で残りの成分が0である列ベクトル。i行目に1がくる基本ベクトルは⃑eᵢと書く。


単位ベクトル

大きさが1であるベクトル。普通⃑eと書く。


一次変換

連立方程式の行列表示におけるベクトルを幾何ベクトルと解釈したもの。合成変換は表現行列の積で表される。

行列とベクトルの積で表される変換。線形変換。


表現行列

一次変換を表す行列。一次変換を連立方程式と見たときの係数行列に等しい。


回転行列

回転移動の表現行列。回転角をθとするとR(θ)やR_θと表される。


正射影ベクトル

正射影を表すベクトル。⃑aと⃑bのなす角をθとしたとき、正射影ベクトルは(|⃑b| cos θ)/⃑a=(⃑a·⃑b)/(⃑a·⃑a)⃑aと表される。


直交射影ベクトル

ちょっこうしゃえいべくとる


ユニタリ行列

逆行列が随伴行列である正方行列。


相似変換

ある図形から相似な図形への変換。

A∼Bのとき、AをP⁻¹,Pで挟んでBに変換する操作。


合同変換

ある図形から合同な図形への変換。


対角化

相似変換を用いて正方行列を対角行列に変換すること。


正規行列

自身の随伴行列との積が可換である正方行列。


正定値行列

固有値が全て正であるエルミート行列。


半正定値行列

はんせいていちぎょうれつ

固有値が全て非負であるエルミート行列。


歪エルミート行列

わいえるみーとぎょうれつ

随伴行列が自身の−1倍に等しい行列。反エルミート行列。


反エルミート行列

はんえるみーとぎょうれつ

随伴行列が自身の−1倍に等しい行列。歪エルミート行列。


巡回行列

左上～右下方向に同じ値が並ぶことから。

(i, j)成分が(i-j)を次数で割ったものである正方行列。


ヴァンデルモンド行列

ゔぁんでるもんどぎょうれつ

a_ij=xʲ⁻¹ᵢである正方行列。


確率行列

全ての成分が非負かつ各行または各列の総和が1である正方行列。


二重確率行列

にじゅうかくりつぎょうれつ

全ての成分が非負かつ各行・各列の総和がそれぞれ1である正方行列。


置換行列

各行・各列に1が一つだけあり、他の成分が全て0である正方行列。

置換をσとしたとき1 2⋯n\σ(1)σ(2)⋯σ(n)と表される行列。


三重対角行列

さんじゅうたいかくぎょうれつ

対角成分と副対角成分以外が0である正方行列。


副対角成分

正方行列の、対角成分に隣接する成分。


テプリッツ行列

左上から右下を結んだライン上の成分が同じである正方行列。


Z-行列

全ての非対角成分が非正である行列。分子の内部座標はこれを用いて表現される。


L-行列

全ての対角成分が正であるZ-行列。


M-行列

全ての固有値の実部が正であるようなZ-行列。


P-行列

すべての主小行列式が正である複素正方行列。P-行列かつZ-行列である全ての行列は正則M-行列である。


スティルチェス行列

すてぃるちぇすぎょうれつ

M-行列のうち対称行列であるもの。


安定行列

あんていぎょうれつ
安定性行列 (alternative)

全ての固有値の実部が負である正方行列。制御理論・安定性理論で用いられる。


メッツラー行列

全ての非対角成分が非負である行列。


ヤコビ行列

やこびぎょうれつ
ヤコビアン (alternative)
関数行列 (alternative)
函数行列 (alternative)

多変数ベクトル関数の各成分の各軸方向への方向微分を並べた行列。その跡は発散に等しい。


アダマール行列

成分が全て1か-1で各行が互いに直交する行列。


共点条件

一次元以上の空間において2つの点が一致する条件。

2点A、Bが一致する

⟺⃑OA=⃑OB ※必ず位置ベクトルで考える。


共線条件

二次元以上の空間において3つの点が同一直線上に存在する条件。

3点A、B、Cが同一直線上に存在する

⟺⃑ABと⃑ACが一次従属

⟺det⃑AB⃑AC=0 ※各ベクトルを列ベクトルと見たとき

⟺⃑AB=k⃑ACとなる実数kが存在する


共面条件

三次元以上の空間において4つの点が同一平面上に存在する条件。

4点A、B、C、Dが同一平面上に存在する

⟺⃑ABと⃑AC、⃑ADが一次従属

⟺det⃑AB⃑AC⃑AD=0 ※各ベクトルを列ベクトルと見たとき

⟺⃑AB=k⃑AC+l⃑ADとなる実数の組(k,l)が存在する

⟺⃑OD=s⃑OA+t⃑OB+u⃑OC\s+t+u=1を満たす実数の組(s,t,u)が存在する。


bázis

ラテン語 basis < 古典ギリシア語 βάσις (básis)


norme

ラテン語 nōrma からの借用語


相似行列

n次行列A, Bに対して、B=P⁻¹APを満たす正則n次行列P。


trace

中英語trace, traas < 古フランス語trace < 動詞（語源2参照）

track

通った跡、足跡、形跡、痕跡。

trail

通った跡、足跡、形跡、痕跡。


偏角

原点から見たときに、ある点が基準軸の正方向となす角度。


ヤコビアン

英語 Jacobian からの借用語


函数行列

かんすうぎょうれつ
函數行列


syzygy

後期ラテン語sȳzygia < 古典ギリシア語συζυγία (suzugía)

モジュールの、生成の関係。